"La bolsa impar II" (N,3)
Solución

- Instrucciones del juego: Dos jugadores y un montón de N impar fichas. (Si el montón de fichas inicial N fuera par, el juego podría acabar en empate). El jugador que tiene el turno retira 1, 2 ó 3 fichas. Una vez retiradas todas, gana el que tiene un número impar de fichas en su bolsa. Este juego es la generalización del juego anterior, "La bolsa impar I" cuando el número de fichas inicial es cualquier número impar N. Para entender bien esta solución general conviene leer primero la solución particular Solución a "La bolsa impar I".

- Estrategia ganadora. Existe estrategia ganadora. El estado del juego decidirá la jugada a realizar y depende de la paridad del número de fichas que ha retirado cada uno (bolsa) y del número de fichas que quedan por retirar. Como en otros juegos de este estilo, hay estados F fatales (si te encuentras en uno de ellos y el contrario sabe jugar pierdes). Tenemos dos jugadores: A y B. El jugador A empieza.

La paridad de un nº es 0 si es par y 1 si es impar. Escribiremos M=N(mod 8) si al hacer la división de N entre 8 el resto es M.

N=nº de fichas que hay en el montón, M=N (mod 8),

parA=paridad de la bolsa de A, parB=paridad de la bolsa de B,

jA=jugada buena para A, es decir nº de fichas que debe retirar A para no caer en situación fatal.

F=estado fatal para A; si B sabe jugar ganará. Los estados fatales son persistentes (si B sabe jugar, A seguirá en estado fatal hasta el final).

Tabla con los distintos estados que se pueden encontrar a lo largo del juego y jugadas que debe realizar A en cada caso:
Cada columna de la tabla que aparece más abajo indica un estado del juego. Para saber la columna que corresponde a un estado debemos calcular M -que es el resto de la división de N entre 8- y la paridad de las bolsas de A y B. Una vez seleccionada la columna, la casilla jA correspondiente a esa columna indica la jugada que debe hacer A para ganar. Si aparece una F en la casilla jA indica una situación fatal para A. En este caso, el jugador A puede hacer cualquier jugada en espera del fallo del contrincante para retomar la ventaja.

M	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8	8
parA	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
parB	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
jA	1	F	1	2	3	2	3	F	F	1	2	1	2	3	F	3

Observaciones:

- La tabla se repetiría para cualquier número N buscando la columna de M = N (mod 8).

- Los estados iniciales son aquellos en que parA=0, parB=0. Las salidas fatales para A (ganadoras para B) son: 5, 13, 21, ... etc. Es decir, N = 5 (mod 8) (los otros estados F se pueden dar en momentos intermedios pero nunca al principio). Salvo es estos estados, A gana si sabe jugar. El jugador B puede jugar cualquier nº de fichas a la espera de un fallo de A.

- En los estados fatales para A -jA=F-, A retirará cualquier número de fichas (1,2 ó 3, da igual la cantidad, pues si B sabe jugar ganará en cualquier caso). Para saber con que jugada debe respoder B para mantener su ventaja, hay que cambiar los papeles de A y B en la tabla. Esta segunda tabla refleja estos cambios de papel:

Estado Fatal de A	1,1,1			4,1,0			5,0,0			8,0,1
Posible jA	3	2	1	3	2	1	3	2	1	3	2	1
Repuesta jB	1	3	3	1	1	3	1	3	3	1	1	3

- Jugador con ventaja. Para el juego (15,3), el jugador A lleva ventaja pues 15 = 7(mod 8), luego tiene jugada ganadora (jA=2). Sin embargo, para un juego que empiece con 21 fichas (21,3) por ejemplo, la ventaja es para el jugador B, pues 21=5(mod8) con parA=parB=0 inicial: si B sabe jugar ganará la partida cualquiera que sea la jugada de A.